Viertelkreis/Schwerpunkt/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit Polarkoordinaten. Der Flächeninhalt von ${}T$ ist ${}\pi /4$ . In Polarkoordinaten wird ${}T$ durch den Radius

{}0\leq r\leq 1\,

und den Winkel

{}0\leq \theta \leq \pi /2\,

parametrisiert. Somit ist nach Fakt und Fakt

{}{\begin{aligned}\int _{T}xd\lambda ^{2}&=\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{1}r\cos \theta \cdot rdrd\theta \\&={\left(\int _{0}^{1}r^{2}dr\right)}{\left(\int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \cdot d\theta \right)}\\&={\frac {1}{3}}\sin \left(\pi /2\right)\\&={\frac {1}{3}}.\end{aligned}}

Wegen der Symmetrie gilt dies auch für die ${}y$ -Koordinate. Somit sind die Koordinaten des Schwerpunktes von ${}T$ gleich

{}\left({\frac {\frac {1}{3}}{\frac {\pi }{4}}},\,{\frac {\frac {1}{3}}{\frac {\pi }{4}}}\right)=\left({\frac {4}{3\pi }},\,{\frac {4}{3\pi }}\right)\,.