Transformationsformel für Polarkoordinaten
Es sei
-
die
Polarkoordinatenauswertung
und es seien
und
offene Mengen,
auf denen
einen
Diffeomorphismus
induziert. Es sei
eine
(in
)
kompakte Teilmenge
und
-
eine
stetige Funktion.
Dann ist
-
![{\displaystyle \int _{T}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{\varphi ^{-1}(T)}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\lambda ^{2}(r,\theta )\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c8c45cb333c254ee0152ed70317b65f43fd319)
Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem
die Formel
-
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\theta \,dr\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bc4ccb44fff6ab482b195d23f1e4ce14918aef)