Polarkoordinaten/Kompakte Teilmengen/Transformationsformel/Fakt

Transformationsformel für Polarkoordinaten

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\theta )\longmapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta ),

die Polarkoordinatenauswertung und es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen, auf denen ${}\varphi$ einen Diffeomorphismus induziert. Es sei ${}T\subseteq H$ eine (in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ) kompakte Teilmenge und

f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}

Dann ist

$\int _{T}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{\varphi ^{-1}(T)}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\lambda ^{2}(r,\theta )\,.$

Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem ${}f$ die Formel

\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\theta \,dr\,.