Vollständig angeordneter Körper/R/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Ein angeordneter Körper heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert (also in einen Grenzwert besitzt).


Definition  

Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen. Er wird mit bezeichnet.

Die reellen Zahlen sind also ein vollständig und archimedisch angeordneter Körper. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle und gibt, die beide für sich genommen vollständig und archimedisch angeordnete Körper sind, so kann man eine bijektive Abbildung von nach angeben, die alle mathematischen Strukturen erhält (sowas nennt man einen Isomorphismus).

Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man die Vorstellung einer „kontinuierlichen Zahlengerade“ zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Dedekindschen Schnitte oder die Menge der Cauchy-Folgen in mit einer geeigneten Identifizierung. Darauf werden wir hier verzichten.

Statt von einem vollständig und archimedisch angeordneten Körper werden wir von nun an von den reellen Zahlen sprechen. Als Beweismittel sind aber lediglich die genannten Axiome erlaubt.