Vorgegebene Fundamentalmatrix/2/Lineares Gleichungssystem/Lösung/Aufgabe

Es sei  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall und seien

$f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

differenzierbare Funktionen mit

${}f_{11}(t)f_{22}(t)-f_{21}(t)f_{12}(t)\neq 0\,$

für alle  ${}t\in I$.  Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {f'_{11}f_{22}-f'_{12}f_{21}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}&{\frac {-f'_{11}f_{12}+f'_{12}f_{11}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}\\{\frac {f'_{21}f_{22}-f'_{22}f_{21}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}&{\frac {-f_{12}f'_{21}+f'_{22}f_{11}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass sowohl ${}{\begin{pmatrix}f_{11}\\f_{21}\end{pmatrix}}$ als auch ${}{\begin{pmatrix}f_{12}\\f_{22}\end{pmatrix}}$ Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.

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