Wegintegral/C/Komplexwertig/Reell-linear/4/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\omega &={\overline {z}}dz+zd{\overline {z}}\\&=(x-{\mathrm {i} }y)d(x+{\mathrm {i} }y)+(x+{\mathrm {i} }y)d(x-{\mathrm {i} }y)\\&={\left(x-{\mathrm {i} }y+x+{\mathrm {i} }y\right)}dx+{\mathrm {i} }{\left(x-{\mathrm {i} }y-x-{\mathrm {i} }y\right)}dy\\&=2xdx+{\mathrm {i} }{\left(-2{\mathrm {i} }y\right)}dy\\&=2xdx+2ydy.\end{aligned}}$

Diese Differentialform ist exakt mit der Stammform

${}\varphi (x+{\mathrm {i} }y)=x^{2}+y^{2}\,.$

Wegen

${}\gamma (-3)=-2-3{\mathrm {i} }+27=25-3{\mathrm {i} }\,$

und

${}\gamma (1)=-2+{\mathrm {i} }+3=1+{\mathrm {i} }\,$

ist nach Fakt

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\varphi (\gamma (1))-\varphi (\gamma (-3))\\&=\varphi (1+{\mathrm {i} })-\varphi (25-3{\mathrm {i} })\\&=1+1+625+9\\&=636.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe