Wegintegral/Vektorraum/Berechnung für 1-Form mit Basis/Werte in C/Reell/Bemerkung

In der Situation von Bemerkung sei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ und sei eine komplexe Basis mit den zugehörigen komplexwertigen Koordinatenfunktionen ${}z_{1},\ldots ,z_{n}$ und den zugehörigen reellwertigen Koordinatenfunktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ mit ${}z_{j}=x_{j}+y_{j}{\mathrm {i} }$. Die Differentialform kann man in der Form

${}{\begin{aligned}\omega &=f_{1}dz_{1}+\cdots +f_{n}dz_{n}\\&={\left(g_{1}+h_{1}{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x_{1}+y_{1}{\mathrm {i} }\right)}+\cdots +{\left(g_{n}+h_{n}{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x_{n}+y_{n}{\mathrm {i} }\right)}\\&={\left(g_{1}dx_{1}-h_{1}dy_{1}+\cdots +g_{n}dx_{n}-h_{n}dy_{n}\right)}+{\mathrm {i} }{\left(g_{1}dy_{1}+h_{1}dx_{1}+\cdots +g_{n}dy_{n}+h_{n}dx_{n}\right)}\end{aligned}}$

schreiben. Mit

${}\gamma _{j}=\alpha _{j}+{\mathrm {i} }\beta _{j}\,$

ist für den Integranden

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\\&=f_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +f_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t)\\&={\left(g_{1}(\gamma (t))+h_{1}(\gamma (t)){\mathrm {i} }\right)}{\left(\alpha _{1}'(t)+{\mathrm {i} }\beta _{1}'(t)\right)}+\cdots +{\left(g_{n}(\gamma (t))+h_{n}(\gamma (t)){\mathrm {i} }\right)}{\left(\alpha '_{n}(t)+{\mathrm {i} }\beta '_{n}(t)\right)}\\&={\left(g_{1}(\gamma (t))\alpha _{1}'(t)-h_{1}(\gamma (t))\beta _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\alpha _{n}'(t)-h_{n}(\gamma (t))\beta _{n}'(t)\right)}+{\mathrm {i} }{\left(g_{1}(\gamma (t))\beta _{1}'(t)+h_{1}(\gamma (t))\alpha _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\beta _{n}'(t)+h_{n}(\gamma (t))\alpha _{n}'(t)\right)}.\,\end{aligned}}$

Es macht also keinen Unterschied, ob man mit der komplexen Differentialform das Wegintegral im Sinne von Bemerkung oder mit der reell formulierten Differentialform berechnet.