Wegintegral/Vektorraum/Berechnung für 1-Form mit Basis/Werte in K/Bemerkung

Ein Wegintegral wird folgendermaßen berechnet. Es sei ${}\omega$ eine reellwertige ${}1$-Form auf ${}G\subseteq V$ offen in einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum, auf dem eine Basis mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ fixiert sei. Die Differentialform ist dann nach Fakt als

${}\omega =f_{1}dx_{1}+\cdots +f_{n}dx_{n}\,$

gegeben, wobei die ${}f_{j}\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ messbare Funktionen sind. Es sei eine stetig differenzierbare Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow G$ gegeben mit den (stetig differenzierbaren) Komponentenfunktionen ${}\gamma _{j}$. Die Ableitung in einem Punkt ${}t\in [a,b]$ wird dann nach Fakt durch den Vektor ${}\left(\gamma _{1}'(t),\,\ldots ,\,\gamma _{n}'(t)\right)$ beschrieben. Die zurückgezogene Differentialform ${}\gamma ^{*}\omega$ hat dann im Punkt ${}t$ in Richtung ${}1$ den Wert

${}{\begin{aligned}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))&={\left(f_{1}(\gamma (t))dx_{1}+\cdots +f_{n}(\gamma (t))dx_{n}\right)}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=f_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +f_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t).\end{aligned}}$

Im mittleren Ausdruck wird eine Linearform auf einen Vektor angewendet. In ${}f_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ wird also ${}x_{i}$ durch ${}\gamma _{i}(t)$ und ${}dx_{i}$ durch ${}\gamma _{i}'(t)dt$ ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare ${}1$-Form auf ${}[a,b]$ bzw. eine messbare Funktion von ${}[a,b]$ nach ${}{\mathbb {K} }$, die man integrieren kann.