Wesentliche Singularität/Bildmenge/Casorati-Weierstrass/Fakt/Beweis

Beweis

Es liege eine wesentliche Singularität vor, wobei wir ${}a=0$ annehmen können. Nehmen wir an, dass es eine Ballumgebung ${}U{\left(0,r\right)}$ derart gibt, dass das Bild der punktierten Ballumgebung nicht dicht ist. Dann gibt es einen Punkt ${}b\in {\mathbb {C} }$ und eine Ballumgebung ${}U{\left(b,s\right)}$, die disjunkt zum Bild ist. Wir betrachten die holomorphe Funktion

$h\colon U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto h(z)={\frac {1}{f(z)-b}},$

die ja wohldefiniert ist, da ${}\vert {f(z)-b}\vert \geq s$ gilt. Ferner folgt daraus, dass ${}\vert {h(z)}\vert \leq {\frac {1}{s}}$ auf der offenen Menge ${}U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}$ ist. Daher ist aber nach Fakt ${}h$ nach ${}0$ holomorph fortsetzbar. Eine Umstellung der definierenden Gleichung für ${}h$ ergibt

${}f(z)={\frac {1}{h(z)}}+b\,,$

woraus folgt, dass ${}f$ in ${}0$ eine hebbare Singularität oder einen Pol besitzt, jedenfalls keine wesentliche Singularität.

Von (2) nach (1) ist im hebbaren Fall klar und ergibt sich im Fall eines Poles aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage