Wichteln/n Personen/Fixpunktfrei/Wahrscheinlichkeit/Limes/Aufgabe/Lösung

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Eine Ziehung bedeutet eine bijektive Abbildung von nach , eine wichtelkonforme Ziehung bedeutet eine fixpunktfreie bijektive Abbildung.

  1. Es gibt nur die beiden Möglichkeiten Identität und Vertauschung, die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziehung wichtelkonform ist, ist somit gleich .
  2. Es gibt bijektive Abbildungen (Permutationen) einer -elementigen Menge in sich selbst.
  3. Zu jedem sei das Ereignis, dass bei einer bijektiven Abbildung auf sich selbst abgebildet wird. Somit ist das Ereignis, dass eine bijektive Abbildung mindestens einen Fixpunkt besitzt. Nach der Siebformel ist

    mit

    Das Ereignis bedeutet also, dass alle Indizes aus Fixpunkte sind (und eventuell weitere). Dazu gibt es Möglichkeiten, da die bijektiven Abbildungen mit als Fixpunkt den bijektiven Abbildungen von in sich entsprechen. Da es -elementige Teilmengen gibt, erhält man

    Das Ereignis, eine wichtelkonforme (fixpunktfreie) bijektive Abbildung zu ziehen, ist somit gleich

  4. Für die Exponentialfunktion zur Basis gilt nach Fakt die Darstellung

    Somit ist die oben ermittelte Formel die Anfangssumme von . Insbesondere konvergiert gegen .

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