Eine Ziehung bedeutet eine bijektive Abbildung von
nach
, eine wichtelkonforme Ziehung bedeutet eine fixpunktfreie bijektive Abbildung.
- Es gibt nur die beiden Möglichkeiten Identität und Vertauschung, die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziehung wichtelkonform ist, ist somit gleich
.
- Es gibt
bijektive Abbildungen
(Permutationen)
einer
-elementigen Menge in sich selbst.
- Zu jedem
sei
das Ereignis, dass bei einer bijektiven Abbildung
auf sich selbst abgebildet wird. Somit ist
das Ereignis, dass eine bijektive Abbildung mindestens einen Fixpunkt besitzt. Nach
der Siebformel
ist
-

mit
-

Das Ereignis
bedeutet also, dass alle Indizes aus
Fixpunkte sind
(und eventuell weitere).
Dazu gibt es
Möglichkeiten, da die bijektiven Abbildungen mit
als Fixpunkt den bijektiven Abbildungen von
in sich entsprechen. Da es
-elementige Teilmengen gibt, erhält man

Das Ereignis, eine wichtelkonforme
(fixpunktfreie)
bijektive Abbildung zu ziehen, ist somit gleich

- Für die Exponentialfunktion zur Basis
gilt nach
Fakt
die Darstellung
-

Somit ist die oben ermittelte Formel
die Anfangssumme von
. Insbesondere konvergiert
gegen
.