Windschiefe Geraden/R^3/Abstand/Extremalproblem/Beispiel

Es seien

G = P + ℝ v

und

H = Q + ℝ w

windschiefe Geraden. Wir wollen das Abstandsproblem zwischen den beiden Geraden als Extremalproblem im Sinne der höherdimensionalen Analysis verstehen. Sei

P = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

Q = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) .

Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten

P^{'} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) + s (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})

und

Q^{'} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) + t (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix})

ist (mit $c_{i} = a_{i} - b_{i}$ )

\begin{matrix} d (P^{'}, Q^{'})^{2} & = {(c_{1} + s v_{1} - t w_{1})}^{2} + {(c_{2} + s v_{2} - t w_{2})}^{2} + {(c_{3} + s v_{3} - t w_{3})}^{2} \\ = c_{1}^{2} + s^{2} v_{1}^{2} + t^{2} w_{1}^{2} + 2 s c_{1} v_{1} - 2 t c_{1} w_{1} - 2 s t v_{1} w_{1} + c_{2}^{2} + s^{2} v_{2}^{2} + t^{2} w_{2}^{2} + 2 s a_{2} v_{2} - 2 t c_{2} w_{2} - 2 s t v_{2} w_{2} + c_{3}^{2} + s^{2} v_{3}^{2} + t^{2} w_{3}^{2} + 2 s c_{3} v_{3} - 2 t c_{3} w_{3} - 2 s t v_{3} w_{3} \\ = c_{1}^{2} + c_{2}^{2} + c_{3}^{2} + 2 s (c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + c_{3} v_{3}) - 2 t (c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2} + c_{3} w_{3}) + s^{2} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}) + t^{2} (w_{1}^{2} + w_{2}^{2} + w_{3}^{2}) - 2 s t (v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3}) . \end{matrix}

Diesen Ausdruck kann man mit Mitteln der Analysis 2 interpretieren. Wir betrachten die durch die Geraden gegebenen Daten als fixierte Parameter, sodass ein reellwertiger funktionaler Ausdruck $f (s, t)$ in den beiden reellen Variablen $s$ und $t$ vorliegt, für den Extrema zu bestimmen sind. Die partiellen Ableitungen sind

\frac{\partial f}{\partial s} = 2 (c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + c_{3} v_{3}) + 2 s (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}) - 2 t (v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3})

und

\frac{\partial f}{\partial t} = 2 (c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2} + c_{3} w_{3}) + 2 t (w_{1}^{2} + w_{2}^{2} + w_{3}^{2}) - 2 s (v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3}) .

Wenn wir diese gleich $0$ setzen, so erhalten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Variablen $s$ und $t$ . Mit der Cramerschen Regel erhält man

s = \frac{det (\begin{matrix} - c_{1} v_{1} - c_{2} v_{2} - c_{3} v_{3} & - v_{1} w_{1} - v_{2} w_{2} - v_{3} w_{3} \\ - c_{1} w_{1} - c_{2} w_{2} - c_{3} w_{3} & w_{1}^{2} + w_{2}^{2} + w_{3}^{2} \end{matrix})}{det (\begin{matrix} v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} & - v_{1} w_{1} - v_{2} w_{2} - v_{3} w_{3} \\ - v_{1} w_{1} - v_{2} w_{2} - v_{3} w_{3} & w_{1}^{2} + w_{2}^{2} + w_{3}^{2} \end{matrix})}

und

t = \frac{det (\begin{matrix} v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} & - c_{1} v_{1} - c_{2} v_{2} - c_{3} v_{3} \\ - v_{1} w_{1} - v_{2} w_{2} - v_{3} w_{3} & - c_{1} w_{1} - c_{2} w_{2} - c_{3} w_{3} \end{matrix})}{det (\begin{matrix} v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} & - v_{1} w_{1} - v_{2} w_{2} - v_{3} w_{3} \\ - v_{1} w_{1} - v_{2} w_{2} - v_{3} w_{3} & w_{1}^{2} + w_{2}^{2} + w_{3}^{2} \end{matrix})} .

Wenn $v$ und $w$ normiert sind, so vereinfachen sich diese Ausdrücke zu

s = \frac{- ⟨ P - Q, v ⟩ - ⟨ P - Q, w ⟩ ⟨ v, w ⟩}{1 - {⟨ v, w ⟩}^{2}}

und

t = \frac{- ⟨ P - Q, w ⟩ - ⟨ P - Q, v ⟩ ⟨ v, w ⟩}{1 - {⟨ v, w ⟩}^{2}} .