Beweis
Wir können annehmen, dass
und
normiert
sind. Es sei
.
Nach
Fakt
ist
-
![{\displaystyle {}d(P,\mathbb {R} v)^{2}=\Vert {P}\Vert ^{2}-\left\langle P,v\right\rangle ^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc68ff2fbe4b8ec0affcd01dcd6b252178d33faf)
und entsprechend
-
![{\displaystyle {}d(P,\mathbb {R} w)^{2}=\Vert {P}\Vert ^{2}-\left\langle P,w\right\rangle ^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496ed77b59ccb9d4cffb1e6613ec365f0769313e)
Also sind die Abstände genau dann gleich, wenn
-
![{\displaystyle {}\left\langle P,v\right\rangle =\pm \left\langle P,w\right\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d6369cd4915f125bf43f5b93dc9d25217e729b)
ist. Wenn
-
![{\displaystyle {}P=s(v+w)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5051e5cc05e9944f61302fd566328eab124ea94)
ist, so ist
-
![{\displaystyle {}\left\langle P,v\right\rangle =\left\langle s(v+w),v\right\rangle =s+s\left\langle w,v\right\rangle =\left\langle s(v+w),w\right\rangle =\left\langle P,w\right\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9542d556e272e32a2f80be49a3794c24b8a427)
und die Gleichung gilt. Für die Umkehrung können wir
-
![{\displaystyle {}P=sv+tw\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250d132e8db03f66ed4fb140b100ec314a5ec32b)
ansetzen. Bei
-
![{\displaystyle {}\left\langle P,v\right\rangle =\left\langle P,w\right\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6451a60380287e3e8005c48df8fa4914c474428)
folgt
-
![{\displaystyle {}s+t\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle sv+tw,v\right\rangle =\left\langle sv+tw,w\right\rangle =t+s\left\langle v,w\right\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf16f02dfa18e51a6b880b1ce3b46c09b43e8e77)
und somit
-
![{\displaystyle {}s{\left(1-\left\langle v,w\right\rangle \right)}=t{\left(1-\left\langle v,w\right\rangle \right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8245950f7d269351b6b2339025ae4de3218f99f3)
Da
und
normiert und linear unabhängig sind, ist
nach Aufgabe
-
![{\displaystyle {}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert <1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd30904e994ffc161c9f337fe42d01378ac135e2)
der rechte Faktor ist nicht
und somit ist
.
Bei
-
![{\displaystyle {}\left\langle P,v\right\rangle =-\left\langle P,w\right\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cdc9136d77d16d55bed1dc5a06e300bc1bae3cc)
folgt mit einer ähnlichen Überlegung
.