a) Da die Wurzelfunktion stetig ist, ist auch als Hintereinanderschaltung von und wieder stetig. Wegen
-
für
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und
-
für
-
ist
-
und somit liegt das Bild von wieder in .
b) Für und ist
-
Wegen
ist der Faktor rechts kleiner als . Wenn man das Supremum über alle nimmt, so ergibt sich die entsprechende Abschätzung für die Maximumsnorm.
c) Nach
Fakt
ist der Raum der stetigen Funktionen von nach ein vollständiger metrischer Raum. Die Bedingung, dass das Bild von wieder in liegt, kann man so formulieren, dass der Abstand
(zur Maximumsnorm)
von zur konstanten Funktion mit dem Wert maximal gleich ist. Es ist also
-
ein abgeschlossener Ball in . Daher ist selbst nach
Aufgabe
vollständig.
d) Wegen
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ist die konstante Funktion
-
der Fixpunkt von
.