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Wurzel von Funktionen/Operator/Kontraktion/Aufgabe/Lösung

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a) Da die Wurzelfunktion stetig ist, ist auch als Hintereinanderschaltung von und wieder stetig. Wegen

für

und

für

ist

und somit liegt das Bild von wieder in .

b) Für und ist

Wegen ist der Faktor rechts kleiner als . Wenn man das Supremum über alle nimmt, so ergibt sich die entsprechende Abschätzung für die Maximumsnorm.

c) Nach Fakt ist der Raum der stetigen Funktionen von nach ein vollständiger metrischer Raum. Die Bedingung, dass das Bild von wieder in liegt, kann man so formulieren, dass der Abstand (zur Maximumsnorm) von zur konstanten Funktion mit dem Wert maximal gleich ist. Es ist also

ein abgeschlossener Ball in . Daher ist selbst nach Aufgabe vollständig.

d) Wegen

ist die konstante Funktion

der Fixpunkt von .