Z^n/Norm als Höhenfunktion/Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {Z} ^{n}$ induzierte jede Norm auf ${}\mathbb {R} ^{n}$ über ${}h(P)=\Vert {P}\Vert ^{2}$ eine schwache Höhenfunktion. Die Endlichkeitsbedingung (3) ist klar (man denke etwa an die Maximumsnorm). Die Dreiecksabschätzung ergibt

${}{\begin{aligned}h(P+Q)&=\Vert {P+Q}\Vert ^{2}\\&\leq {\left(\Vert {P}\Vert +\Vert {Q}\Vert \right)}^{2}\\&=\Vert {P}\Vert ^{2}+\Vert {Q}\Vert ^{2}+2\Vert {P}\Vert \cdot \Vert {Q}\Vert \\&=h(Q)+\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {P}\Vert \cdot \Vert {Q}\Vert \\&\leq 2h(Q)+S_{1},\end{aligned}}$

wobei die letzte Abschätzung darauf beruht, dass bei fixiertem ${}P$ bis auf endlich viele Ausnahmen ${}\Vert {P}\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert {Q}\Vert$ gilt. In der Eigenschaft (2) gilt Gleichheit mit ${}S_{2}=0$,