Z mod 2 hoch 3/Endliche eigentliche Symmetriegruppe/Aufgabe/Lösung

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  1. Die endlichen Gruppen, die als eigentliche Bewegungsgruppe eines geometrisches Objektes auftreten, sind in Fakt klassifiziert. Die Gruppe hat acht Elemente, deshalb scheiden die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe aus. Aufgrund der Anzahl könnte höchstens die zyklische Gruppe der Ordnung , also sein, oder die Diedergruppe . Diese enthält aber die zyklische Gruppe der Ordnung vier. In haben aber alle Elemente außer dem neutralen Element die Ordnung , so dass auch diese beiden Gruppen ausgeschlossen sind.
  2. Die acht Matrizen

    sind allesamt Isometrien, und da es sich um Diagonalmatrizen handelt, bilden sie eine Gruppe, die isomorph zu

    ist.

  3. Die Hintereinanderschaltung von zwei Halbdrehungen um verschiedene Quaderachsen ergibt die Halbdrehung um die dritte Achse, deshalb ist die Symmetriegruppe nicht , sondern .