Zahlbereich/Divisoren und Hauptdivisoren/Erste Eigenschaften/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, den Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(q\right)}$ zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}\operatorname {div} {\left(q_{1}q_{2}\right)}=\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)}+\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}$.
2. Es ist ${}\operatorname {div} {\left(q_{1}+q_{2}\right)}\geq \min\{\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}\}$.

Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus

$Q(R)\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(R\right)}$

definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.

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