Zahlbereich/Divisoren und Hauptdivisoren/Erste Eigenschaften/Aufgabe

Sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige, dass die Abbildung, die einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, den Hauptdivisor ${}\operatorname {div} (q)$ zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}\operatorname {div} (q_{1}q_{2})=\operatorname {div} (q_{1})+\operatorname {div} (q_{2})$.
2. Es ist ${}\operatorname {div} (q_{1}+q_{2})\geq \min\{\operatorname {div} (q_{1}),\operatorname {div} (q_{2})\}$.

Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus

${}Q(R)\setminus \{0\}\rightarrow \operatorname {Div} (R)$ definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.

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