Zahlbereich/Dritte Wurzel aus 2/Einheiten/Beispiel

Wir betrachten den Zahlbereich ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$ vom Grad ${}3$, eine Ganzheitsbasis ist ${}1,{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt[{3}]{2}}^{2}$ nach Fakt. Es ist

${}(1-{\sqrt[{3}]{2}})(1+{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{2}}^{2})=1-{\sqrt[{3}]{2}}^{3}=1-2=-1\,.$

d.h. das Element ${}1-{\sqrt[{3}]{2}}$ ist eine Einheit, und zwar keine Einheitswurzel.