Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt/Beweis2

Beweis

Es sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Ganzheitsbasis von ${}R$. Es ist zu zeigen, dass die ${}\tau ^{\mathbb {R} }(b_{k})$, ${}k=1,\ldots ,n$, linear unabhängig sind. Es ist

${}\tau ^{\mathbb {R} }(b)={\begin{pmatrix}\rho _{1}(b)\\\vdots \\\rho _{r}(b)\\\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{1}(b)\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{1}(b)\right)}\\\vdots \\\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{s}(b)\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{s}(b)\right)}\end{pmatrix}}\,.$

Wäre etwa

${}\tau ^{\mathbb {R} }(b_{n})=\sum _{k=1}^{n-1}c_{k}\tau ^{\mathbb {R} }(b_{k})\,$

mit ${}c_{k}\in \mathbb {R}$, so wäre insbesondere

${}{\begin{pmatrix}\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{j}(b_{n})\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{j}(b_{n})\right)}\end{pmatrix}}=\sum _{k=1}^{n-1}c_{k}{\begin{pmatrix}\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{j}(b_{k})\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{j}(b_{k})\right)}\end{pmatrix}}\,$

und damit

${}{\begin{aligned}\sigma _{j}(b_{n})&=\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{j}(b_{n})\right)}+{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{j}(b_{n})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}c_{k}{\left(\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{j}(b_{k})\right)}+{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{j}(b_{k})\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}c_{k}\sigma _{j}(b_{k})\end{aligned}}$

und ebenso

${}{\begin{aligned}{\overline {\sigma }}_{j}(b_{n})&=\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{j}(b_{n})\right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{j}(b_{n})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}c_{k}{\left(\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{j}(b_{k})\right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{j}(b_{k})\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}c_{k}{\overline {\sigma }}_{j}(b_{k}).\end{aligned}}$

D.h. in diesem Fall könnte man auch das Tupel ${}(\varphi (b_{n}))_{\varphi }$ zu allen komplexen Einbettungen ${}\varphi$ als Linearkombination der übrigen Tupel ${}(\varphi (b_{k}))_{\varphi }$, ${}k=1,\ldots ,n-1$, ausdrücken. Dies widerspricht aber der Tatsache, dass die Diskriminante von ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ nicht ${}0$ ist, siehe Fakt.

Zur bewiesenen Aussage