Zahlbereich/Einheitswurzeln/Endlich/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir argumentieren in der endlichen Erweiterung , die den Grad habe. Wir behaupten zunächst, dass die Ordnungen in beschränkt ist. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist, und sei , , eine streng wachsende (und damit unbeschränkte) Folge von natürlichen Zahlen, die als Ordnungen von Elementen aus vorkommen. Dann gilt nach Fakt für die Kreisteilungskörper

Für der Grad gilt dann unter Verwendung von Fakt

Wenn in den Primfaktorzerlegungen der Folgenglieder unendlich viele Primzahlen vorkommen, so ist

Wenn hingegen in den Primfaktorzerlegungen nur endlich viele Primzahlen vorkommen, so gibt es darin eine Teilfolge mit Primzahlpotenzen als Teiler mit . In diesem Fall ist . In beiden Fällen ergibt sich ein Widerspruch zur Endlichkeit von . Die Endlichkeit der Gruppe folgt daher mit Fakt. Die Zyklizität folgt aus Fakt.