Zahlbereich/Faktoriell/Hauptdivisor/Bemerkung

Es sei ${}R$ ein faktorieller Zahlbereich. Dann lässt sich der Hauptdivisor zu einem Ringelement ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, unmittelbar aus der Primfaktorzerlegung ablesen. Wenn

${}f=up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$

mit einer Einheit ${}u$ und paarweise nicht assoziierten Primelementen ${}p_{i}$ ist, so ist der Hauptdivisor zu ${}f$ gleich

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{k}r_{i}(p_{i})\,.$

Dies beruht einfach darauf, dass die Ordnung von ${}f$ in der Lokalisierung ${}R_{(p_{i})}$ gleich ${}r_{i}$ ist.