Zahlbereich/Gebrochene Ideale/Isomorphie/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es seien ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale.

1. Zeige, dass wenn es ein ${}r\in Q(R)$, ${}r\neq 0$, mit

   ${}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,$

   gibt, dass dann die Multiplikation mit ${}r$, also

   $Q(R)\longrightarrow Q(R),\,f\longmapsto rf,$

   einen ${}R$-Modulisomorphismus

   ${\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$

   induziert.

2. Zeige, dass wenn es irgendeinen ${}R$-Modulisomorphismus

   $\varphi \colon {\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$

   gibt, dass es dann schon ein ${}r\in Q(R)$ mit

   ${}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,$

   gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.

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