Zahlbereich/Gebrochene Ideale/Isomorphie/Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und es seien $𝔣$ und $𝔤$ gebrochene Ideale.

1. Zeige, dass, wenn es ein $r\in Q(R)$, $r\ne 0$, mit

   $𝔤=r𝔣$

   gibt, dann die Multiplikation mit $r$, also

   $Q(R)⟶Q(R),f⟼rf,$

   einen $R$-Modulisomorphismus

   $𝔣⟶𝔤$

   induziert.

2. Zeige, dass, wenn es irgendeinen $R$-Modulisomorphismus

   $\phi :𝔣⟶𝔤$

   gibt, es dann schon ein  $r\in Q(R)$  mit

   $𝔤=r𝔣$

   gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.

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