Zahlbereich/Gitter/Einheitenbedingung/Multiplikative Ausschöpfung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei der Grad der Körpererweiterung. Nach Fakt gehört zu einer Einheit zu . Ferner ist mit komponentenweiser Multiplikation abgeschlossen in . Es seien positive reelle Zahlen mit für die komplex-konjugierten Stellen und mit

Wir betrachten die durch definierte beschränkte Teilmenge

Zu einem Element ohne Nulleintrag ist die mit multiplizierte Menge gleich

Nach Fakt gibt es in für jede vorgegebene Norm bis auf Assoziiertheit nur endlich viele Elemente mit dieser Norm. Da als Norm nur ganze Zahlen auftreten, gilt dies auch für die Elemente unterhalb einer fixierten Norm. Deshalb gibt es von verschiedene Elemente derart, dass jedes Element mit zu einem der assoziiert ist.

Wir betrachten nun

und behaupten

wobei die Inklusion klar ist. Zum Beweis der anderen Inklusion sei . Wir betrachten . Wegen gilt, dass das Produkt der Grenzen in wieder gleich ist und damit die eingangs fixierte Bedingung erfüllt. Nach Fakt gibt es ein von verschiedenes mit , sagen wir

mit . Da die komponentenweise durch die beschränkt sind, ist der Betrag der Norm von durch beschränkt. Daher gibt es ein aus unserer endlichen Auswahlmenge und eine Einheit mit . Somit ist

und