Zahlbereich/Gitter/Einheitenbedingung/Multiplikative Ausschöpfung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}d=r+2s$ der Grad der Körpererweiterung. Nach Fakt gehört ${}\tau ^{\mathbb {R} }(u)$ zu einer Einheit ${}u\in R^{\times }$ zu ${}U$. Ferner ist ${}U$ mit komponentenweiser Multiplikation abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{d}$. Es seien ${}c_{1},\ldots ,c_{d}$ positive reelle Zahlen mit ${}c_{j}=c_{j+1}$ für die komplex-konjugierten Stellen und mit

${}c:=c_{1}\cdots c_{d}>\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle _{K}}\vert }}\,.$

Wir betrachten die durch ${}c$ definierte beschränkte Teilmenge

${}A:={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid \vert {x_{j}}\vert <c_{j}{\text{ alle }}j\right\}}\,.$

Zu einem Element ${}y=(y_{1},\ldots ,y_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ ohne Nulleintrag ist die mit ${}y$ multiplizierte Menge gleich

${}{\begin{aligned}yA&={\left\{(y_{1}x_{1},\ldots ,y_{d}x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid \vert {x_{j}}\vert <c_{j}{\text{ alle }}j\right\}}\\&={\left\{(z_{1},\ldots ,z_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid \vert {z_{j}}\vert <\vert {y_{j}}\vert c_{j}{\text{ alle }}j\right\}}.\end{aligned}}$

Nach Fakt gibt es in ${}R$ für jede vorgegebene Norm bis auf Assoziiertheit nur endlich viele Elemente mit dieser Norm. Da als Norm nur ganze Zahlen auftreten, gilt dies auch für die Elemente unterhalb einer fixierten Norm. Deshalb gibt es von ${}0$ verschiedene Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ derart, dass jedes Element ${}g\in R$ mit ${}N(g)\leq c$ zu einem der ${}f_{i}$ assoziiert ist.

Wir betrachten nun

${}T:=U\cap {\left(\bigcup _{i=1}^{n}\tau ^{\mathbb {R} }(f_{i}^{-1})A\right)}\,$

und behaupten

${}U=\bigcup _{u\in R^{\times }}T\cdot \tau ^{\mathbb {R} }(u)\,,$

wobei die Inklusion ${}\supseteq$ klar ist. Zum Beweis der anderen Inklusion sei ${}y\in U$. Wir betrachten ${}y^{-1}A$. Wegen ${}\vert {y_{1}}\vert \cdots \vert {y_{d}}\vert =1$ gilt, dass das Produkt der Grenzen in ${}y^{-1}A$ wieder gleich ${}c$ ist und damit die eingangs fixierte Bedingung erfüllt. Nach Fakt gibt es ein von ${}0$ verschiedenes ${}f\in R$ mit ${}\tau ^{\mathbb {R} }(f)\in y^{-1}A$, sagen wir

${}\tau ^{\mathbb {R} }(f)=y^{-1}x\,$

mit ${}x\in A$. Da die ${}\tau ^{\mathbb {R} }(f)$ komponentenweise durch die ${}c_{j}$ beschränkt sind, ist der Betrag der Norm von ${}f$ durch ${}c$ beschränkt. Daher gibt es ein ${}f_{i}$ aus unserer endlichen Auswahlmenge und eine Einheit ${}u$ mit ${}f=uf_{i}$. Somit ist

${}y=x\tau ^{\mathbb {R} }(f^{-1})=\tau ^{\mathbb {R} }(f_{i}^{-1})x\tau ^{\mathbb {R} }(u^{-1})\,$

und

${}x\tau ^{\mathbb {R} }(u^{-1})\in A\,.$

Zur bewiesenen Aussage