Zahlbereich/Hauptdivisor/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann hat die Abbildung, die einem Ringelement ${}\neq 0$ den Hauptdivisor zuordnet, also

R\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Hauptdivisoren} ,\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},

folgende Eigenschaften.

${}\operatorname {div} {\left(fg\right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(g\right)}\,.$
${}\operatorname {div} {\left(f+g\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f\right)},\operatorname {div} {\left(g\right)}\right)}}\,.$

Hierbei sind die Operationen rechts punktweise definiert.