Zahlbereich/Ideal/Einbettungsbedingung/Element/Fakt/Beweis

Beweis

Wir nummerieren die Einbettungen mit ${}1,\ldots ,r$ für die reellen und ${}r+1,r+2,\ldots ,r+2s-1,r+2s$ durch, wobei die konjugiert-komplexen Einbettungen nebeneinander stehen. Wir betrachten die Menge

$M={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+2s})\in \mathbb {R} ^{r+2s}\mid \vert {x_{j}}\vert <d_{j}{\text{ für }}j=1,\ldots ,r,\,x_{r+j}^{2}+x_{r+j+1}^{2}<d_{r+j}^{2}{\text{ für }}j=1,3,\ldots ,2s-1\right\}}\,.$

Dies ist eine Produktmenge aus ${}r$ Intervallen der Länge ${}2d_{j}$ und ${}s$ Kreisscheiben mit den Radien ${}d_{j}$. Diese Menge ist offensichtlich zentralsymmetrisch und konvex ist. Die Menge ist so nicht kompakt. Wir können aber jedes ${}r_{j}$ derart verkleinern, dass die Bedingung nach wie vor erfüllt ist und dann in der entsprechenden Menge ${}\leq$ statt ${}<$ schreiben. Da die Menge ein Produkt aus Intervallen und Kreisen ist, ist ihr Volumen gleich

${}2^{r}\prod _{j=1}^{r}d_{j}\cdot \pi ^{s}\prod _{j=r+1}^{r+2s}d_{j}=2^{r}\pi ^{s}\prod _{j=1}^{n}d_{j}\,$

(man beachte, dass der Flächeninhalt des Kreises durch das zweifache Vorkommen der höheren ${}d_{j}$ berücksichtigt wird). Nach Voraussetzung und nach Fakt ist dieses Volumen größer als

${}{\begin{aligned}2^{r}\pi ^{s}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})&=2^{r+s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})\\&=2^{r+s}2^{s}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})\\&=2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}}),\end{aligned}}$

wobei ${}{\mathfrak {N}}$ die Grundmasche des Gitters zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ unter der reellen Gesamteinbettung bezeichnet. Nach dem Gitterpunktsatz von Minkowski gibt es einen Gitterpunkt ${}\neq 0$, der in ${}M$ liegt. D.h. es gibt ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ mit ${}\vert {\tau _{j}(f)}\vert <d_{j}$ für alle ${}j$.

Zur bewiesenen Aussage