Zu einem
gebrochenen Ideal
in einem
Zahlbereich
nennt man
-

das zugehörige inverse gebrochene Ideal. Es ist klar, dass dies ein von
verschiedener
-Untermodul
von
ist, die endliche Erzeugtheit ist etwas schwieriger zu zeigen. Zunächst beachte man, dass zu zwei gebrochenen Idealen mit der Beziehung
mit
für die inversen Ideale die Beziehung
gilt. Wenn nun
durch
erzeugt wird, so ist
mit
und
besitzt ein Erzeugendensystem der Form
mit
.
Die Bedingung
-

impliziert
.
Daher ist das inverse gebrochene Ideal selbst ein Ideal, also endlich erzeugt.
Für das
Produkt
ist offenbar
-

es ist aber nicht unmittelbar klar, dass hier sogar Gleichheit gilt. Dies folgt daraus, dass man die Gleichheit lokal testen kann, die Produktbildung lokal ist und die Lokalisierungen diskrete Bewertungsringe sind.