Zahlbereich/Ideal/Inverses gebrochenes Ideal/Produkt/Bemerkung

Zu einem gebrochenen Ideal  ${}{\mathfrak {f}}\neq 0$  in einem Zahlbereich ${}R$ nennt man

${}{\mathfrak {f}}^{-1}:={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {f}}\subseteq R\right\}}\,$

das zugehörige inverse gebrochene Ideal. Es ist klar, dass dies ein von ${}0$ verschiedener ${}R$-Untermodul von ${}Q(R)$ ist, die endliche Erzeugtheit ist etwas schwieriger zu zeigen. Zunächst beachte man, dass zu zwei gebrochenen Idealen mit der Beziehung  ${}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}$  mit  ${}r\in Q(R)$,   ${}r\neq 0$,  für die inversen Ideale die Beziehung  ${}{\mathfrak {g}}^{-1}=r^{-1}{\mathfrak {f}}^{-1}$  gilt. Wenn nun ${}{\mathfrak {f}}$ durch ${}{\frac {a_{1}}{b_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ erzeugt wird, so ist  ${}{\mathfrak {f}}\cong {\frac {\mathfrak {f}}{a}}={\mathfrak {g}}$  mit  ${}a=a_{1}\cdots a_{n}$  und ${}{\mathfrak {g}}$ besitzt ein Erzeugendensystem der Form ${}{\frac {1}{c_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{c_{n}}}$ mit  ${}c_{i}\in R$.  Die Bedingung

${}q{\frac {1}{c_{i}}}\in R\,$

impliziert  ${}q\in R$.  Daher ist das inverse gebrochene Ideal selbst ein Ideal, also endlich erzeugt.

Für das Produkt ist offenbar

${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}\subseteq R\,,$

es ist aber nicht unmittelbar klar, dass hier sogar Gleichheit gilt. Dies folgt daraus, dass man die Gleichheit lokal testen kann, die Produktbildung lokal ist und die Lokalisierungen diskrete Bewertungsringe sind.