Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Galoisgruppe/Wirkung auf Z hoch 2/Matrix/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}\alpha ,\beta$ und ${}\gamma$ die Nullstellen des Polynoms ${}X^{3}-3X+1$. Ein Erzeuger der Galoisgruppe permutiert diese Nullstellen. Zwischen den Nullstellen besteht die multiplikative Beziehung

${}\alpha \beta \gamma =-1\,,$

also

${}\gamma =-\alpha ^{-1}\cdot \beta ^{-1}\,.$

Es sind ${}\alpha$ und ${}\beta$ nach Beispiel unabhängige Einheiten. Sei ${}\alpha =r\alpha '$ mit ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ und einer Fundamentaleinheit ${}\alpha '$. Dann gilt für ${}\beta '=\varphi (\alpha ')$ entsprechend ${}\beta =m\beta '$ und ${}\alpha '$ und ${}\beta '$ bilden ein System von Fundamentaleinheiten. Bezüglich der zugehörigen Basis des ${}\mathbb {Z} ^{2}$ wird der Automorphismus genau so beschrieben, wie es die Wirkungsweise auf ${}\alpha$ und ${}\beta$ angibt. Wengen ${}\alpha \mapsto \beta$ und ${}\beta \mapsto -\alpha ^{-1}\cdot \beta ^{-1}$ durch der Automorphismus durch die Matrix

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}}$

beschrieben.

Zur gelösten Aufgabe