Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Galoisgruppe/Wirkung auf Z hoch 2/Matrix/Aufgabe

Wir betrachten den Zahlbereich  ${}R=\mathbb {Z} [X]/\left(X^{3}-3X+1\right)$.  Es ist (vergleiche Beispiel)

${}\operatorname {Gal} \,(R{|}\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /(3)=\langle \varphi \rangle \,$

und

${}R^{\times }/\{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} ^{2}\,$

Bestimme die Matrix, die die Wirkung von ${}\varphi$ auf ${}\mathbb {Z} ^{2}$ beschreibt.

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