Zahlbereich/X^3-3X+1/Logarithmische Abbildung/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, also ${}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$. Unter der logarithmischen Gesamtabbildung wird das Ringelement ${}a+b\alpha +c\alpha ^{2}$ auf

${\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b\alpha +c\alpha ^{2}}\vert \\\ln \vert {a+b(\alpha ^{2}-2)+c(-\alpha ^{2}-\alpha +4)}\vert \\\ln \vert {a+b(-\alpha ^{2}-\alpha +2)+c(\alpha +2)}\vert \end{pmatrix}}$

bzw. ${}a+b\alpha +d\beta$ auf

${\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b\alpha +d\beta }\vert \\\ln \vert {a+b\beta +d(-\alpha -\beta )}\vert \\\ln \vert {a+b(-\alpha -\beta )+d\alpha }\vert \end{pmatrix}}$

abgebildet. Die Einheiten ${}\alpha$ bzw. ${}\beta$ werden auf

${\begin{pmatrix}\ln \vert {\alpha }\vert \\\ln \vert {\beta }\vert \\\ln \vert {-\alpha -\beta }\vert \end{pmatrix}}$

bzw.

${\begin{pmatrix}\ln \vert {\beta }\vert \\\ln \vert {-\alpha -\beta }\vert \\\ln \vert {\alpha }\vert \end{pmatrix}}$

und diese Vektoren liegen auf der durch ${}x+y+z=0$ definierten Ebene. Die lineare Unabhängigkeit dieser beiden Vektoren kann man über die Determinante zeigen.

Die numerischen Werte der Nullstellen des Polynoms sind ungefähr

$\alpha \sim 1,532,\,\,\beta \sim 0,347,\,\,\gamma \sim -1,879.$

Die Determinante der oberen ${}2\times 2$-Untermatrix ist ungefähr

${}{\begin{aligned}\ln \vert {\alpha }\vert \ln \vert {\alpha +\beta }\vert -\ln \left(\vert {\beta }\vert \right)^{2}&\sim 0,426\cdot 0,631-(-1.058)^{2}\\&\sim 0,89\\&\neq 0.\end{aligned}}$

Die Bilder der beiden Einheiten ${}\alpha$ und ${}\beta$ sind also linear unabhängig und daher besteht zwischen den Einheiten selbst in ${}R$ keine Beziehung der Form

${}\alpha ^{m}=\beta ^{n}\,$

für ${}(m,n)\neq (0,0)$.