Zahlbereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus Fakt. Bei (3) ist zu beachten, dass für ${}f\in R$ gilt, dass ${}f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann ist, wenn ${}f\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist. Letzteres bedeutet nämlich, dass ${}f=q_{1}f_{1}+\cdots +q_{n}f_{n}$ ist mit ${}f_{i}\in {\mathfrak {p}}$ und ${}q_{i}\in R_{\mathfrak {p}}$ , also ${}q_{i}={\frac {r_{i}}{s_{i}}}$ mit ${}s_{i}\notin {\mathfrak {p}}$ . Mit dem Hauptnenner ${}s=s_{1}\cdots s_{n}$ ist dann ${}sf=a_{1}f_{1}+\cdots +a_{n}f_{n}\in {\mathfrak {p}}$ , woraus ${}f\in {\mathfrak {p}}$ folgt. Damit folgt die Behauptung aus Fakt.