(1) und (2) folgen direkt aus Fakt. Bei (3) ist zu beachten, dass für f ∈ R {\displaystyle {}f\in R} gilt, dass f ∈ p {\displaystyle {}f\in {\mathfrak {p}}} genau dann gilt, wenn f ∈ p R p {\displaystyle {}f\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}} ist. Letzteres bedeutet nämlich, dass f = q 1 f 1 + ⋯ + q n f n {\displaystyle {}f=q_{1}f_{1}+\cdots +q_{n}f_{n}} mit f i ∈ p {\displaystyle {}f_{i}\in {\mathfrak {p}}} und q i ∈ R p {\displaystyle {}q_{i}\in R_{\mathfrak {p}}} ist, also q i = r i s i {\displaystyle {}q_{i}={\frac {r_{i}}{s_{i}}}} mit s i ∉ p {\displaystyle {}s_{i}\notin {\mathfrak {p}}} . Mit dem Hauptnenner s = s 1 ⋯ s n {\displaystyle {}s=s_{1}\cdots s_{n}} ist dann s f = a 1 f 1 + ⋯ + a n f n ∈ p {\displaystyle {}sf=a_{1}f_{1}+\cdots +a_{n}f_{n}\in {\mathfrak {p}}} , woraus f ∈ p {\displaystyle {}f\in {\mathfrak {p}}} folgt. Damit folgt die Behauptung aus Fakt.
