Zahlbereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein Zahlbereich und  $𝔭\ne 0$  ein Primideal in $R$. Dann hat die Ordnung an $𝔭$, also die Abbildung

$R\setminus \{0\}⟶\mathbb{N},f⟼{\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(f\right),$

folgende Eigenschaften.

1.  ${\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(fg\right)={\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(f\right)+{\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(g\right)$. 
2.  ${\mathrm{ord}}_{𝔭}(f+g)\ge min({\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(f\right),{\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(g\right))$. 
3. Es ist  $f\in 𝔭$  genau dann, wenn  ${\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(f\right)\ge 1$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen