Zahlbereich/Primzahl/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt liegt in $R$ eine Produktzerlegung

(p) = 𝔭_{1}^{r_{1}} \dots 𝔭_{k}^{r_{k}}

vor und nach Fakt ist

R / (p) ≅ R / 𝔭_{1}^{r_{1}} \times \dots \times R / 𝔭_{k}^{r_{k}} .

Dieser Restklassenring, der der Faserring zu $R$ über $p$ ist, ist genau dann reduziert, wenn alle Exponenten $r_{i}$ gleich $1$ sind. Dies charakterisiert nach Fakt auch die Unverzweigtheit.

Zur bewiesenen Aussage