Zahlbereich/Primzahl/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt liegt in ${}R$ eine Produktzerlegung

${}(p)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

vor und nach Fakt ist

${}R/(p)\cong R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Dieser Restklassenring, der der Faserring zu ${}R$ über ${}p$ ist, ist genau dann reduziert, wenn alle Exponenten ${}r_{i}$ gleich ${}1$ sind. Dies charakterisiert nach Fakt auch die Unverzweigtheit.

Zur bewiesenen Aussage