Zahlbereich/Ringhomomorphismus/Einheiten/Kommutatives Diagramm/Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ Zahlbereiche und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

{\begin{matrix}1&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mu _{}{\left(R\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R^{\times }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&1&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\1&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mu _{}{\left(S\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&S^{\times }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&S^{\times }/\mu _{}{\left(S\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&1&\!\!\!\!\!\end{matrix}}

von Gruppenhomomorphismen mit exakten Zeilen existiert, und dass die vertikalen Homomorphismen injektiv sind.