Zahlbereich/Spur/Faserring/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt ist ein freier -Modul, dessen Rang der Grad der zugrunde liegenden Körpererweiterung ist, und nach Fakt ist der Faserring über eine -dimensionale -Algebra. In beiden Fällen kann man also die Spur über die Multiplikationsmatrix bezüglich einer Basis berechnen. Sei eine -Basis von fixiert. Eine -Basis von wird modulo zu einer -Basis von , siehe den Beweis zu Fakt. In der Multiplikationsmatrix zu bezüglich stehen die ganzen Zahlen , die durch

gegeben sind. Da ein Ringhomomorphismus ist, folgt

und daher ist die Multiplikationsmatrix zu bezüglich einfach die komponentenweise reduzierte Matrix. Deshalb ist insbesondere die Reduktion der Spur

gleich , also gleich der Spur der Reduktion.