Zahlbereich/Spur/Faserring/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist ${}R$ ein freier ${}\mathbb {Z}$-Modul, dessen Rang der Grad ${}n$ der zugrunde liegenden Körpererweiterung ist, und nach Fakt ist der Faserring über ${}\mathbb {Z} /(p)$ eine ${}n$-dimensionale ${}\mathbb {Z} /(p)$-Algebra. In beiden Fällen kann man also die Spur über die Multiplikationsmatrix bezüglich einer Basis berechnen. Es sei eine ${}\mathbb {Z}$-Basis ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ von ${}R$ fixiert. Eine ${}\mathbb {Z}$-Basis von ${}R$ wird modulo ${}p$ zu einer ${}\mathbb {Z} /(p)$-Basis von ${}R/(p)$, siehe den Beweis zu Fakt. In der Multiplikationsmatrix zu ${}f$ bezüglich ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ stehen die ganzen Zahlen ${}c_{ij}$, die durch

${}fb_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}b_{j}\,$

gegeben sind. Da ${}R\rightarrow R/(p)$ ein Ringhomomorphismus ist, folgt

${}{\overline {f}}{\overline {b}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\overline {c}}_{ij}{\overline {b}}_{j}\,$

und daher ist die Multiplikationsmatrix zu ${}{\overline {f}}$ bezüglich ${}{\overline {b}}_{1},\ldots ,{\overline {b}}_{n}$ einfach die komponentenweise reduzierte Matrix. Deshalb ist insbesondere die Reduktion der Spur

${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}c_{ii}\,$

gleich ${}\sum _{i=1}^{n}{\overline {c}}_{ii}$, also gleich der Spur der Reduktion.

Zur bewiesenen Aussage