Zahlbereich/X^3-3X+1/Verzweigungspunkte/Kähler-Differentiale/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist

{}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdX/F'dX\cong R/(F')=R/(3X^{2}-3)=R/(3(X-1)(X+1))\,.

Es ist

{}X^{3}-3X+1=(X-1)(X^{2}+X-2)-1\,

und daher ist ${}X-1$ eine Einheit in ${}R$ und der Kählermodul ist isomorph zu ${}R/(3(X+1))$ . Wegen

{}R/(X+1)=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-3X+1,X+1)=\mathbb {Z} /(3)\,

ist die Norm von ${}X+1$ gleich ${}3$ und somit ist die Norm von ${}3(X+1)$ gleich ${}81$ .

Ferner ist

{}X^{3}-3X+1=(X+1)(X^{2}-X-2)+3=(X+1)(X+1)(X-2)+3\,.

Es gilt die Idealgleichheit ${}(X+1)=(X-2)$ , da beide Seiten die ${}3$ enthalten. Somit ist ${}(3)=(X+1)^{3}$

und daher ist der Modul der Kähler-Differentiale auch gleich

{}R/(X+1)^{4}

. Die einzige verzweigende Primzahl ist daher die

{}(3)

und darüber liegt allein das Primideal

{}(X+1)

.