Zahlbereich/Zwei reine Gleichungen/Norm/Aufgabe/Lösung

1. Es sei

   ${}{\mathfrak {a}}={\left(X^{4}-7,X^{3}-5\right)}\,$

   und

   ${}{\mathfrak {b}}=(X+55,282)\,.$

   Es ist

   ${}X^{4}-7-X{\left(X^{3}-5\right)}=5X-7\in {\mathfrak {a}}\,.$

   Somit ist auch

   ${}5{\left(X^{3}-5\right)}-X^{2}(5X-7)=7X^{2}-25\in {\mathfrak {a}}\,$

   und auch

   ${}5{\left(7X^{2}-25\right)}-7X{\left(5X-7\right)}=49X-125\in {\mathfrak {a}}\,.$

   Daher ist schließlich

   ${}10{\left(5X-7)-(49X-125\right)}=X+55\in {\mathfrak {a}}\,$

   und

   ${}5{\left(X+55\right)}-{\left(5X-7\right)}=275+7=282\in {\mathfrak {a}}\,,$

   was die Inklusion

   ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}\,$

   beweist. Zum Nachweis der Inklusion ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ zeigen wir, dass modulo ${}{\mathfrak {b}}$ auch ${}{\mathfrak {a}}$ zu ${}0$ gemacht wird. Der Restklassenring ${}\mathbb {Z} [X]/{\mathfrak {b}}$ ist ${}\mathbb {Z} /(282)$, wobei ${}X$ auf ${}-55$ abgebildet wird. Unter dieser Abbildung ist

   ${}X^{4}-7=(-55)^{4}-7=9150625-7=9150618=282\cdot 32449=0\,$

   und

   ${}X^{3}-5=(-55)^{3}-5=-166375-5=-166380=282\cdot 590=0\,.$

2. Nach Teil (1) ist

   ${}{\left(\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}-7\right)}\right)}/{\left(X^{3}-5\right)}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}-7,X^{3}-5\right)}=\mathbb {Z} /(282)\,$

   und somit ist die Norm des Ideals ${}{\left(X^{3}-5\right)}$ im Zahlbereich ${}{\left(\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}-7\right)}\right)}$ gleich ${}282$.

3. Ebenfalls ${}282$, wobei die Rollen vertauscht werden.

Zur gelösten Aufgabe