Zahlbereichserweiterung/Trägheitsgrad/Bemerkung

Wenn ${}R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen ist und ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ ist und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {m}}$, so ist der Trägheitsgrad einfach der Grad der Körpererweiterung

$R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow S/{\mathfrak {n}}$

(der Trägheitsgrad im Nullideal ist einfach der Grad der Erweiterung der Quotientenkörper). Wenn ${}R$ und damit auch ${}S$ ein Zahlbereich ist, so sind diese Körper stets endlich von gleicher Charakteristik ${}p$, und daher liegt eine Erweiterung der Form ${}{\mathbb {F} }_{q}\subseteq {\mathbb {F} }_{q'}$ mit ${}q=p^{e}$ und ${}q'=p^{e'}$ vor.