Die Eindeutigkeit wird durch Induktion über
gezeigt. Für
liegt eine Primzahl vor. Es sei nun
und seien zwei Zerlegungen in Primfaktoren gegeben, sagen wir
-
![{\displaystyle {}n=p_{1}{\cdots }p_{r}=q_{1}{\cdots }q_{s}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1aaf962a1fe4ba2b105e768bfa5218992d4c94)
Wir müssen zeigen, dass nach Umordnung die Primfaktorzerlegungen übereinstimmen.
Die Gleichheit bedeutet insbesondere, dass die Primzahl
das Produkt rechts teilt. Nach
dem Lemma von Euklid
muss dann
einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung können wir annehmen, dass
von
geteilt wird. Da
selbst eine Primzahl ist, folgt, dass
sein muss. Daraus ergibt sich durch Kürzen, dass
-
![{\displaystyle {}p_{2}{\cdots }p_{r}=q_{2}{\cdots }q_{s}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c44d3267504518fdf7d6ac147eb34bea1fff910)
ist. Nennen wir diese Zahl
![{\displaystyle {}n'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e49fa609a73212423213fe87308ba70fcea4e5)
. Da
![{\displaystyle {}n'<n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b3aa5403c9aed06fe861c676b7c8ac3f02dada)
ist, können wir die Induktionsvoraussetzung auf
![{\displaystyle {}n'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e49fa609a73212423213fe87308ba70fcea4e5)
anwenden und erhalten, dass links und rechts die gleichen Primzahlen stehen.