Beweis
Wir betrachten zuerst die Abschätzung nach oben. Für
gilt
und somit
.
Ferner gilt die Abschätzung
und somit
-

Aus diesen zwei Vorüberlegungen und aus
Fakt
folgt dann die Abschätzung

Die Abschätzung ist also mit
erfüllt.
Wir betrachten nun die Abschätzung nach unten. Nach
Legendres Identität
ist

Die Summe läuft hierbei bis zum maximalen
mit
,
also bis
.
Da die einzelnen Summanden der letzten Summe nur
oder
sein können, folgt,
-

Durch Betrachten aller Primzahlen ergibt sich daraus die Abschätzung
-

Andererseits ist
-

Wir wenden den Logarithmus auf die zusammengesetzte Abschätzung an und erhalten
-

Für
ist
und damit
.
Wir verwenden dies in der folgenden Aufspaltung und erhalten

Dies ergibt die Abschätzung
-

Der Bruch rechts ist beschränkt
(und konvergiert gegen
).
Man erhält also eine positive Konstante
mit
für
hinreichend groß. Für
zwischen
und
hat man
-

und dies ist wiederum
für eine geeignete positive Schranke
(und für
hinreichend groß).
Dann gibt es aber auch eine positive Schranke
mit
für alle
.
Aus
-

folgt nun
wie behauptet.