Beweis
Wir betrachten zuerst die Abschätzung nach oben. Für
gilt
und somit
.
Ferner gilt die Abschätzung
und somit
-
![{\displaystyle {}{\sqrt {x}}=x/{\sqrt {x}}<2x/\ln(x)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884daa937aae36f3e5c0dfd91932e6e7ef786dfe)
Aus diesen zwei Vorüberlegungen und aus
Fakt
folgt dann die Abschätzung
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\pi (x)&=\pi ({\sqrt {x}})+(\pi (x)-\pi ({\sqrt {x}}))\\&\leq {\sqrt {x}}+\sum _{{\sqrt {x}}<p\leq x,\,p\in {\mathbb {P} }}1\\&<{\sqrt {x}}+{\frac {2}{\ln(x)}}\left(\sum _{{\sqrt {x}}<p\leq x,\,p\in {\mathbb {P} }}\ln(p)\right)\\&<{\sqrt {x}}+{\frac {2}{\ln(x)}}\vartheta (x)\\&<{\sqrt {x}}+{\frac {2}{\ln(x)}}(4\ln(2))x\\&\leq (2+8\ln(2)){\frac {x}{\ln(x)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36f4068efdf7ed4d4a74c75d90b4542d17f1129)
Die Abschätzung ist also mit
erfüllt.
Wir betrachten nun die Abschätzung nach unten. Nach
Legendres Identität
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\nu _{p}{\left({\binom {2n}{n}}\right)}&=\nu _{p}{\left({\frac {(2n)!}{n!n!}}\right)}\\&=\nu _{p}{\left((2n)!\right)}-2\nu _{p}(n!)\\&=\left\lfloor {\frac {2n}{p}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {2n}{p^{k}}}\right\rfloor -2\left(\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor \right)\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\left\lfloor {\frac {2n}{p^{j}}}\right\rfloor -2\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor \right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d010231d5590cbe72f7eb1af8f0012dd68b142)
Die Summe läuft hierbei bis zum maximalen
mit
,
also bis
.
Da die einzelnen Summanden der letzten Summe nur
oder
sein können, folgt,
-
![{\displaystyle {}\nu _{p}{\left({\binom {2n}{n}}\right)}\leq \left\lfloor {\frac {\ln(2n)}{\ln(p)}}\right\rfloor \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9944cc4cfece2a4eb07b9df75dc3b4565d71607e)
Durch betrachten aller Primzahlen ergibt sich daraus die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}{\binom {2n}{n}}\leq \prod _{p<2n,p{\text{ prim}}}p^{\left\lfloor {\frac {\ln(2n)}{\ln(p)}}\right\rfloor }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2bc4b219b132ce82213b10d7de6e8ff5961bfd9)
Andererseits ist
-
![{\displaystyle {}2^{n}\leq {\frac {2n}{n}}{\frac {2n-1}{n-1}}\cdots {\frac {n+1}{1}}={\binom {2n}{n}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96695fa9e720df44df7eae812ba1cc499222f2af)
Wir wenden den Logarithmus auf die zusammengesetzte Abschätzung an und erhalten
-
![{\displaystyle {}n\ln(2)\leq \sum _{p<2n}\left\lfloor {\frac {\ln(2n)}{\ln(p)}}\right\rfloor \ln(p)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13107f1f146876242ab7a86d1f630011e7091670)
Für
ist
und damit
.
Wir verwenden dies in der folgenden Aufspaltung und erhalten
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}n\ln(2)&\leq \sum _{p\leq {\sqrt {2n}}}\left\lfloor {\frac {\ln(2n)}{\ln(p)}}\right\rfloor \ln(p)+\sum _{{\sqrt {2n}}<p<2n}\left\lfloor {\frac {\ln(2n)}{\ln(p)}}\right\rfloor \ln(p)\\&\leq \sum _{p\leq {\sqrt {2n}}}\ln(2n)+\sum _{{\sqrt {2n}}<p<2n}\ln(p)\\&\leq {\sqrt {2n}}\ln(2n)+\vartheta (2n).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164b524932f0c3c589a80892abe5963eecf4e33d)
Dies ergibt die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}\vartheta (2n)\geq n{\left(\ln(2)-{\frac {{\sqrt {2n}}\ln(2n)}{n}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ee9f640c1df14793d702add55e394e081a1063)
Der Bruch rechts ist beschränkt
(und konvergiert gegen
).
Man erhält also eine positive Konstante
mit
für
hinreichend groß. Für
zwischen
und
hat man
-
![{\displaystyle {}\vartheta (x)\geq \vartheta (2n)\geq Mn\geq M{\frac {x-2}{2}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a00b4fa5a687d9e578672028c248798198371e0)
und dies ist wiederum
für eine geeignete positive Schranke
(und für
hinreichend groß).
Dann gibt es aber auch eine positive Schranke
mit
für alle
.
Aus
-
![{\displaystyle {}cx\leq \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\ln(p)\leq \pi (x)\ln(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1a4b103319c2f192fcd4461059f889ca3ad43a)
folgt nun
wie behauptet.