Beweis
Wir betrachten zuerst die Abschätzung nach oben. Für
gilt
und somit
.
Ferner gilt die Abschätzung
und somit
-
Aus diesen zwei Vorüberlegungen und aus
Fakt
folgt dann die Abschätzung
Die Abschätzung ist also mit
erfüllt.
Wir betrachten nun die Abschätzung nach unten. Nach
Legendres Identität
ist
Die Summe läuft hierbei bis zum maximalen mit
,
also bis
.
Da die einzelnen Summanden der letzten Summe nur oder sein können, folgt,
-
Durch Betrachten aller Primzahlen ergibt sich daraus die Abschätzung
-
Andererseits ist
-
Wir wenden den Logarithmus auf die zusammengesetzte Abschätzung an und erhalten
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} n \ln(2) \leq \sum_{p < 2n} \left\lfloor \frac{\ln (2n)}{\ln (p)} \right\rfloor \ln(p) \, . }
Für
ist
und damit
.
Wir verwenden dies in der folgenden Aufspaltung und erhalten
Dies ergibt die Abschätzung
-
Der Bruch rechts ist beschränkt
(und konvergiert gegen ).
Man erhält also eine positive Konstante mit
für hinreichend groß. Für zwischen und hat man
-
und dies ist wiederum für eine geeignete positive Schranke
(und für hinreichend groß).
Dann gibt es aber auch eine positive Schranke mit
für alle
.
Aus
-
folgt nun
wie behauptet.