Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Wir betrachten zuerst die Abschätzung nach oben. Für gilt und somit . Ferner gilt die Abschätzung und somit

Aus diesen zwei Vorüberlegungen und aus Fakt folgt dann die Abschätzung

Die Abschätzung ist also mit erfüllt.

Wir betrachten nun die Abschätzung nach unten. Nach Legendres Identität ist

Die Summe läuft hierbei bis zum maximalen mit , also bis . Da die einzelnen Summanden der letzten Summe nur oder sein können, folgt,

Durch betrachten aller Primzahlen ergibt sich daraus die Abschätzung

Andererseits ist

Wir wenden den Logarithmus auf die zusammengesetzte Abschätzung an und erhalten

Für ist und damit . Wir verwenden dies in der folgenden Aufspaltung und erhalten

Dies ergibt die Abschätzung

Der Bruch rechts ist beschränkt (und konvergiert gegen ). Man erhält also eine positive Konstante mit für hinreichend groß. Für zwischen und hat man

und dies ist wiederum für eine geeignete positive Schranke (und für hinreichend groß). Dann gibt es aber auch eine positive Schranke mit für alle . Aus

folgt nun wie behauptet.

Zur bewiesenen Aussage