Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Beschreibung mit beliebiger Basis/Fakt

Es sei $A_D$ ein quadratischer Zahlbereich mit $\mathbb{Z}$-Basis $1$ und $\omega$ und sei $𝔞$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $A_D$. Es sei  $u=u_1+u_2\omega$  und  $v=v_1+v_2\omega$  eine $\mathbb{Z}$-Basis von $𝔞$.

Dann ist

$N(𝔞)=|det\left(\begin{array}{cc}{u}_1& v_1\\ u_2& v_2\end{array}\right)|.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen