Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Beschreibung mit beliebiger Basis/Fakt

Sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich mit ${}\mathbb {Z}$-Basis ${}1$ und ${}\omega$ und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}A_{D}$. Es sei ${}u=u_{1}+u_{2}\omega$ und ${}v=v_{1}+v_{2}\omega$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis von ${}{\mathfrak {a}}$. Dann ist

${}N({\mathfrak {a}})=\vert {\det {\begin{pmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{pmatrix}}}\vert \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen