Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Element und Hauptideal/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}f=f_{1}+f_{2}\omega$ mit

${}\omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}},&{\text{falls }}D=2,3\mod 4\,,\\{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}},&{\text{falls }}D=1\mod 4\,.\end{cases}}\,$

Die Norm von ${}f$ ist dann

${}{\begin{aligned}N(f)&=f{\overline {f}}\\&={\begin{cases}{\left(f_{1}+f_{2}{\sqrt {D}}\right)}{\left(f_{1}-f_{2}{\sqrt {D}}\right)}=f_{1}^{2}-f_{2}^{2}D,&{\text{falls }}D=2,3\mod 4\,,\\{\left(f_{1}+{\frac {1}{2}}f_{2}+{\frac {f_{2}{\sqrt {D}}}{2}}\right)}{\left(f_{1}+{\frac {1}{2}}f_{2}-{\frac {f_{2}{\sqrt {D}}}{2}}\right)}={\left(f_{1}+{\frac {1}{2}}f_{2}\right)}^{2}-{\frac {f_{2}^{2}}{4}}D,&{\text{falls }}D=1\mod 4\,.\end{cases}}\,\end{aligned}}$

Wir berechnen nun die Norm des von ${}f$ erzeugten Ideals ${}{\mathfrak {a}}=(f)$ mit Hilfe von Fakt. Eine ${}\mathbb {Z}$-Basis des Ideals ist offenbar durch ${}f$ und ${}f\omega$ gegeben, wobei

$f\omega =f_{1}\omega +f_{2}\omega ^{2}={\begin{cases}f_{2}D+f_{1}\omega ,&{\text{falls }}D=2,3\mod 4\,,\\f_{2}{\frac {D-1}{4}}+(f_{1}+f_{2})\omega ,&{\text{falls }}D=1\mod 4\end{cases}}\,$

ist. Im ersten Fall haben wir

${}\vert {\det {\begin{pmatrix}f_{1}&f_{2}D\\f_{2}&f_{1}\end{pmatrix}}}\vert =\vert {f_{1}^{2}-f_{2}^{2}D}\vert \,$

und im zweiten Fall ist

${}\vert {\det {\begin{pmatrix}f_{1}&f_{2}{\frac {D-1}{4}}\\f_{2}&f_{1}+f_{2}\end{pmatrix}}}\vert =\vert {f_{1}(f_{1}+f_{2})-f_{2}^{2}{\frac {D-1}{4}}}\vert =\vert {f_{1}^{2}+f_{1}f_{2}+{\frac {1}{4}}f_{2}^{2}-{\frac {1}{4}}f_{2}^{2}D}\vert \,,$

was mit den obigen Ergebnissen übereinstimmt.

Zur bewiesenen Aussage