Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Erfüllt ${}n$ die angegebene Bedingung an die Primfaktorzerlegung, so ist ${}n$ nach dem vorangehenden Lemma und dem Hauptsatz die Summe zweier Quadrate. Es sei umgekehrt angenommen, dass ${}n$ die Summe zweier Quadrate ist, so dass also eine Zerlegung ${}n=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)$ vorliegt. Es sei ${}p$ ein Primfaktor von ${}n$, der modulo ${}4$ den Rest ${}3$ besitze. Dann ist nach Fakt ${}p$ prim in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ und teilt einen und damit (betrachte die Konjugation) beide Faktoren in der Zerlegung, jeweils mit dem gleichen Exponenten. Damit ist der Exponent von ${}p$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ gerade und ${}p$ kommt in der Primfaktorzerlegung von ${}m$ nicht vor.

Zur bewiesenen Aussage