Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Charakterisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Erfüllt die angegebene Bedingung an die Primfaktorzerlegung, so ist nach dem vorangehenden Lemma und dem Hauptsatz die Summe zweier Quadrate. Sei umgekehrt angenommen, dass die Summe zweier Quadrate ist, so dass also eine Zerlegung vorliegt. Sei ein Primfaktor von , der modulo den Rest besitze. Dann ist nach Fakt prim in und teilt einen und damit (betrachte die Konjugation) beide Faktoren in der Zerlegung, jeweils mit dem gleichen Exponenten. Damit ist der Exponent von in der Primfaktorzerlegung von gerade und kommt in der Primfaktorzerlegung von nicht vor.

Zur bewiesenen Aussage