Zahlentheorie/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt mit Beweisklappe

Lemma von Euklid

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und  ${}a,b,c\in R$.  Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$.

Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.

Beweis

Da ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente  ${}r,s\in R$  mit  ${}ra+sb=1$.  Die Voraussetzung, dass ${}a$ das Produkt ${}bc$ teilt, schreiben wir als  ${}bc=da$.  Damit gilt

${}c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds)\,,$

was zeigt, dass ${}c$ ein Vielfaches von ${}a$ ist.

$\Box$