Zahlentheorie/x^4+y^4 ist z^2/Keine Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $(x, y, z)$ eine nichttriviale Lösung, d.h. alle Einträge sind $\neq 0$ . Wir können annehmen, dass alle Einträge sogar positiv sind. Wenn es eine solche Lösung gibt, dann gibt es auch eine nichttriviale Lösung mit minimalem positiven $z$ (unter allen nichttrivialen Lösungen). Wir zeigen, dass es dann eine Lösung mit kleinerem positiven $z_{1}$ gibt, was einen Widerspruch bedeutet.

Wegen der Minimalität ist $(x, y, z)$ primitiv, die Einträge sind also (sogar paarweise) teilerfremd. Wir können $x$ als ungerade annehmen. Es ist dann

(x^{2}, y^{2}, z)

ein primitives pythagoreisches Tripel. Daher gibt es nach Fakt teilerfremde natürliche Zahlen $(u, v)$ mit

x^{2} = u^{2} - v^{2}, y^{2} = 2 u v, z = u^{2} + v^{2}

und mit $u + v$ ungerade. Betrachtung der ersten Gleichung modulo $4$ zeigt, dass $u$ ungerade sein muss (und $v$ gerade). Die erste Gleichung

u^{2} = x^{2} + v^{2}

ist selbst ein primitives pythagoreisches Tripel. Es gibt also erneut teilerfremde natürliche Zahlen $(r, s)$ mit

x = r^{2} - s^{2}, v = 2 r s, u = r^{2} + s^{2}

( $x$ ist ungerade, $v$ gerade) mit $r + s$ ist ungerade. Somit sind $r, s, r^{2} + s^{2} = u$ paarweise teilerfremd. Aus

y^{2} = 2 u v = 4 (r^{2} + s^{2}) r s

folgt

{(\frac{y}{2})}^{2} = (r^{2} + s^{2}) r s

und aus der Teilerfremdheit der Faktoren folgt, dass die einzelnen Faktoren hier selbst Quadrate sind, also

r = x_{1}^{2}, s = y_{1}^{2}, r^{2} + s^{2} = z_{1}^{2} .

Damit ist

z_{1}^{2} = r^{2} + s^{2} = x_{1}^{4} + y_{1}^{4}

eine neue nichttriviale Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wegen

z_{1} \leq z_{1}^{2} = r^{2} + s^{2} = u < u^{2} + v^{2} = z

widerspricht dies der Minimalität von

z

.

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