Zahlkörper/Galoissch/Wirkung auf Einheitswurzeln/Fakt

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Körpererweiterung mit der Galoisgruppe ${}G$ und es sei

${}\mu _{}{\left(K\right)}=\mu _{n}\,$

die Einheitswurzelgruppe zu ${}K$.

Dann operiert ${}G$ in natürlicher Weise auf ${}\mu _{}{\left(K\right)}$, d.h. es gibt einen Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)})={\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times },\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )).$

Wenn eine Galoiserweiterung vorliegt, so ist diese Abbildung surjektiv.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen