Zentralfeld/t,v,w nach (t^2-t)(v,w)/0 nach (1,1)/Aufgabe/Kommentar

Zuerst einmal ist zu beachten, dass hier ${}v$ und ${}w$ die Koordinaten des Ortes sind, wo hingegen in der Definition des Zentralfeldes mit ${}v$ der gesamte Ortsverktor bezeichnet wird. Es liegt ein Zentralfeld mit der reellwertigen und stetigen Funktion

$g(t,v,w)=g(t)=(t^{2}-t)$

vor. Das heißt, hier haben wir den Sonderfall, dass diese unabhängig vom Ort ist. Deshalb wird es auf das Lösen einer eindimensionalen gewöhnlichen Differntialgleichung hinauslaufen. Die Lösung wird aber am Ende in die Richtung des gegebenen Startvektors ${}(1,1)$ verlaufen, was charakteristisch für Zentralfelder ist. Wir benutzen Fakt und müssen hierfür die eindimensionale Differentialgleichung

$z'=g(t,z(1,1))\cdot z,\quad {\text{also}}\quad z'=(t^{2}-t)\cdot z,$

mit Anfangswert ${}\alpha (t_{0})=\alpha (0)=1$ lösen. Diese ist homogen und da ${}{\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+c$ die Stammfunktion von ${}g$ ist, ergibt sich mit Fakt, dass ${}\alpha (t)=c\cdot \exp({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2})$ mit ${}c\in \mathbb {R}$ (dieses ist nicht das selbe wie in der Stammfunktion) die Lösungen sind. Nutzt man die Anfangsbedingung ergibt sich ${}c=1$. Damit ist ${}\alpha (t)=\exp({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2})$ die eindeutige Lösung. Insgesamt haben wir als Lösung für unserer Aufgabe somit

$\varphi (t)=\exp({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2})\cdot (1,1).$

Denkt man dabei an ein Teilchen, dass sich zum Zeitpunkt Null an der Stelle ${}(1,1)$ befindet und aufgrund des Zentralfeldes bewegt wird, beschreibt die Lösung ${}\varphi (t)$ den Ort im ${}\mathbb {R} ^{2}$ zum Zeitpunkt ${}t$. Anhand der Lösung ist auch zu erkennen, dass es sich nur in Richtung des Ortsvektors, also auf der Geraden, die durch den Ursprung und ${}(1,1)$ geht, bewegt. Das ist bei einem Zentralfeld auch zu erwarten.

Zur kommentierten Aufgabe