Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahlen bilden einen Unterkörper/Fakt/Beweis

Beweis

Die ${}0$ und die ${}1$ sind als Ausgangsmenge automatisch darin enthalten. Zu einem Punkt ${}P$ gehört auch der „gegenüberliegende“ Punkt ${}-P$ dazu, da man ihn konstruieren kann, indem man die Gerade durch ${}P$ und ${}0$ und den Kreis mit Mittelpunkt ${}0$ und Radius ${}P$ zeichnet; der zweite Schnittpunkt von diesem Kreis und dieser Geraden ist ${}-P$. Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist also unter der Bildung des Negativen abgeschlossen.

Aufgrund von Fakt kann man sich beim Nachweis der Körpereigenschaften darauf beschränken, dass die reellen konstruierbaren Zahlen einen Körper bilden. Dies folgt aber aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage