Zwei lineare Gleichungen/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierung/Beispiel

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Wir betrachten das allgemeine reelle lineare Gleichungssystem

und

in den Variablen und den Parametern , die als unbestimmte Koeffizienten des linearen Gleichungssystems dienen. Wenn die Parameter hinreichend allgemein sind, genauer, wenn zwischen den beiden Gleichungen keine lineare Relation besteht, so ist der Lösungsraum

jeweils eine Gerade im . Die Parameter definieren also unter dieser Bedingung eine Familie von variierenden Geraden im . Der relevante (für die Geradenfamilie) Parameterraum ist

es liegt insgesamt der totale Lösungsraum

mit der Projektion auf vor.

Kann man diese Gerade bzw. ein Basiselement dafür in Abhängigkeit der Parameter global angeben? Wenn man die beiden zu erfüllenden Gleichungen als Orthogonalitätsrelationen betrachtet, so geht es um einen nichtrivialen Vektor, der auf beiden Bedingungsvektoren und senkrecht steht. Diese Eigenschaft erfüllt bekanntlich das Kreuzprodukt der beiden Vektoren, also (siehe Fakt für die relevanten Eigenschaften des Kreuzproduktes).

Insgesamt liegt also eine Bijektion

vor.