Zykel/Minimalpolynom/Aufgabe

Es sei der Zykel ${}1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto n\mapsto 1$ gegeben und sei ${}M$ die zugehörige ${}n\times n$-Permutationsmatrix über einem Körper ${}K$.

a) Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}<n$. Erstelle eine Formel für ${}(P(M))(e_{1})$.

b) Bestimme das Minimalpolynom von ${}M$.

c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus ${}\varphi$ auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit untereinander verschiedenen Vektoren ${}v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ derart, dass ${}\varphi (v_{1})=v_{2}$, ${}\varphi (v_{2})=v_{3}$ und ${}\varphi (v_{3})=v_{1}$ gilt und dass das Minimalpolynom von ${}\varphi$ nicht ${}X^{3}-1$ ist.

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