Zyklische Gruppe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Die Gruppe ${}\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen ist zyklisch, und zwar ist ${}1$ aber auch ${}-1$ ein Erzeuger. Alle anderen ganzen Zahlen sind kein Erzeuger von ${}\mathbb {Z}$, da die ${}1$ nur ein ganzzahliges Vielfaches von ${}1$ und von ${}-1$ ist (allerdings ist die von einer ganzen Zahl ${}n\neq 0$ erzeugte Untergruppe „isomorph“ zu ${}\mathbb {Z}$). Ebenso sind die „Restklassengruppen“

${}\mathbb {Z} /(n)=\{0,1,\ldots ,n-1\}\,$

zyklisch, und ${}1$ und ${}-1$ sind ebenfalls Erzeuger. Allerdings gibt es dort in aller Regel noch viele weitere Erzeuger; mit deren genauer Charakterisierung werden wir uns bald beschäftigen.

Wie gesagt, in einer zyklischen Gruppe gibt es ein Element ${}g$ derart, dass man jedes andere Element als ${}g^{k}$ mit einer ganzen Zahl ${}k\in \mathbb {Z}$ schreiben kann, die im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt ist. Daraus folgt sofort die folgende Beobachtung.

Lemma

Eine zyklische Gruppe

ist kommutativ.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Wir erwähnen zwei Modelle für die zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$.

Eine zyklische Blüte der Ordnung fünf.

Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Dann bilden die ebenen Drehungen um Vielfache des Winkels ${}360/n$ Grad eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$.

Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Bei Division durch ${}n$ besitzt jede ganze Zahl ${}k$ einen eindeutig bestimmten Rest aus

${}\mathbb {Z} /(n)=\{0,1,\ldots ,n-1\}\,,$

den man mit ${}k\mod n$ bezeichnet. Auf der Menge dieser Reste kann man addieren, und zwar setzt man

${}a+b:=(a+b)\mod n\,.$

D.h. man ersetzt die in ${}\mathbb {Z}$ durch die gewöhnliche Addition gewonnene Summe durch ihren Rest modulo ${}n$. Dies ist ebenfalls eine zyklische Gruppe, siehe Aufgabe, mit ${}1$ als Erzeuger.