Zyklische Gruppe/Einführung/Textabschnitt
Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
Die Gruppe der ganzen Zahlen ist zyklisch, und zwar ist aber auch ein Erzeuger. Alle anderen ganzen Zahlen sind kein Erzeuger von , da die nur ein ganzzahliges Vielfaches von und von ist (allerdings ist die von einer ganzen Zahl erzeugte Untergruppe „isomorph“ zu ). Ebenso sind die „Restklassengruppen“ (siehe
Es sei . Bei Division durch besitzt jede ganze Zahl einen eindeutig bestimmten Rest aus
den man mit bezeichnet. Auf der Menge dieser Reste kann man addieren, und zwar setzt man
D.h. man ersetzt die in durch die gewöhnliche Addition gewonnene Summe durch ihren Rest modulo . Dies ist ebenfalls eine zyklische Gruppe, siehe Aufgabe, mit als Erzeuger.
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zyklisch, und und sind ebenfalls Erzeuger. Allerdings gibt es dort in aller Regel noch viele weitere Erzeuger; mit deren genauer Charakterisierung werden wir uns in Fakt beschäftigen.
Wie gesagt, in einer zyklischen Gruppe gibt es ein Element derart, dass man jedes andere Element als mit einer ganzen Zahl schreiben kann, die im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt ist. Daraus folgt sofort die folgende Beobachtung.
Wir erwähnen zwei Modelle für die zyklische Gruppe der Ordnung .
Es sei . Dann bilden die ebenen Drehungen um Vielfache des Winkels Grad eine zyklische Gruppe der Ordnung .
Es sei . Bei Division durch besitzt jede ganze Zahl einen eindeutig bestimmten Rest aus
den man mit bezeichnet. Auf der Menge dieser Reste kann man addieren, und zwar setzt man
D.h. man ersetzt die in durch die gewöhnliche Addition gewonnene Summe durch ihren Rest modulo . Dies ist ebenfalls eine zyklische Gruppe, siehe Aufgabe, mit als Erzeuger.