Zyklische Gruppe/Kanonische Darstellung/Beispiel

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Die Untergruppen der ganzen Zahlen sind nach Fakt von der Form mit . Die Restklassengruppen werden mit

bezeichnet (sprich „ modulo “). Bei ist das einfach selbst, bei ist das die triviale Gruppe. Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe definierte Äquivalenzrelation auf dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen und genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz zu gehört, also ein Vielfaches von ist. Daher ist (bei ) jede ganze Zahl zu genau einer der Zahlen

äquivalent (oder, wie man auch sagt, kongruent modulo ), nämlich zum Rest, der sich bei Division durch ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt Elemente. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung

ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt. Als Bild der zyklischen Gruppe ist auch zyklisch, und zwar ist (aber auch ) stets ein Erzeuger.