Zyklische Gruppe/Operation auf C^r/Fixpunktfrei gdw Einheitswurzel gleiche Ordnung/Aufgabe

Es sei

$A={\begin{pmatrix}\xi _{1}&0&\cdots &0\\0&\xi _{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\xi _{n}\end{pmatrix}}$

eine Diagonalmatrix, deren Einträge allesamt Einheitswurzeln ${}\xi _{j}$ in einem Körper ${}K$ seien. Zeige, dass die zugehörige lineare Operation der von ${}A$ erzeugten zyklischen Gruppe auf dem ${}K^{n}\setminus \{0\}$ genau dann fixpunktfrei ist, wenn die Ordnungen

der ${}\xi _{j}$ übereinstimmen.

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